내가 보려고 만드는 고등 미적분학 - 무리수 e와 자연로그

문과생으로 살아온 지난 나날들.. 수능 2등급이였지만 내 미적분 지식은 다항함수 미적분이 끝이다... 공대에서 살아남기위해 고등 미적분을 정리하려고한다.

무리수 \(e\)란?

\( y = \left ( 1+x \right )^{\frac{1}{x}} \) 에서 x가 0에 한없이 가까워 질때 y값이 2.71828182845... 인 무리수로 수렴한다고 알려져있다. 이 수를 \( e \)로 나타낸다. 수식으로 표현하면
$$ \displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( 1+x \right )^{\frac{1}{x}} = e $$
이고, \( x \)대신 \( \frac{1}{x} \)을 대입하면
$$ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x} = e $$
가 성립함을 알 수 있다.

무리수 e가 왜 중요한지 아직은 깨닫지 못했다. 일단 기본이 되는 수이기 때문에 그냥 외우고 넘어가고 나중에 알아봐야겠다.

그리고 깔끔하게 \( \left ( 1+0 \right )^{\infty } \) 꼴로 나타낼 수 있으면 모든지 \( e \)가 되는 것을 기억하자

무리수 \(e\)가 필요한 이유

\(2^x\) 와 \(3^x\)를 미분하면 각각

$$ \frac{\partial }{\partial x}(2^x) \approx (0.69)2^x, \frac{\partial }{\partial x}(3^x) \approx (1.10)3^x$$

가 된다.

해당 식을 본다면 \(f'(0) = 1\)을 만족시키는 지수함수의 밑은 2와 3사이에 존재한다는 사실을 알 수 있다.

\(f'(0) = 1\)이 되는 지수함수는 식이 훨씬 간단해 질 것이고 이렇게 되는 밑을 \( e \)라고 나타냈다.

따라서 \( e^x \)를 미분하면 

$$ \frac{\partial }{\partial x}(e^x) = (1)e^x $$

이고 자기자신이 되는 것이다.

자연로그란?

무리수 (e)를 밑으로 하는 로그를 자연로그라고 한다.
$$ \log_{e} x, \ln x$$

\( y = ln x \) 와 \( y = e^{x}\) 함수는 서로 역함수 관계이고 y = x에 대해서 대칭이다.