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내가 보려고 만드는 고등 미적분학 - 무리수 e와 자연로그 본문
문과생으로 살아온 지난 나날들.. 수능 2등급이였지만 내 미적분 지식은 다항함수 미적분이 끝이다... 공대에서 살아남기위해 고등 미적분을 정리하려고한다.
무리수 e란?
y=(1+x)1x 에서 x가 0에 한없이 가까워 질때 y값이 2.71828182845... 인 무리수로 수렴한다고 알려져있다. 이 수를 e로 나타낸다. 수식으로 표현하면
limx→0(1+x)1x=e
이고, x대신 1x을 대입하면
limx→∞(1+1x)x=e
가 성립함을 알 수 있다.
무리수 e가 왜 중요한지 아직은 깨닫지 못했다. 일단 기본이 되는 수이기 때문에 그냥 외우고 넘어가고 나중에 알아봐야겠다.
그리고 깔끔하게 (1+0)∞ 꼴로 나타낼 수 있으면 모든지 e가 되는 것을 기억하자
무리수 e가 필요한 이유
2x 와 3x를 미분하면 각각
∂∂x(2x)≈(0.69)2x,∂∂x(3x)≈(1.10)3x
가 된다.
해당 식을 본다면 f′(0)=1을 만족시키는 지수함수의 밑은 2와 3사이에 존재한다는 사실을 알 수 있다.
f′(0)=1이 되는 지수함수는 식이 훨씬 간단해 질 것이고 이렇게 되는 밑을 e라고 나타냈다.
따라서 ex를 미분하면
∂∂x(ex)=(1)ex
이고 자기자신이 되는 것이다.
자연로그란?
무리수 (e)를 밑으로 하는 로그를 자연로그라고 한다.
logex,lnx
y=lnx 와 y=ex 함수는 서로 역함수 관계이고 y = x에 대해서 대칭이다.